Как узнать, является ли число иррациональным? — Хабр Q&A

Иррациональные числа

Практическая работа 1. Великий греческий математик, физик, астроном и изобретатель Архимед хотел найти рациональное число, квадрат которого равен 3. С этой целью он выбрал числа

Классификация чисел

Любое рациональное число можно записать в виде дроби Каждую конечную десятичную дробь можно записать в

Каждую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби с цифрой 0 в периоде. Но есть такие числа, которые невозможно представить в виде десятичной периодической дроби. Бесконечная десятичная непериодическая дробь выражает число, которое не является рациональным. Такие числа называются иррациональными числами. Иррациональное число невозможно представить в виде a) 0,1010010001... (количество нулей после каждой Приведём примеры иррациональных чисел:

a) 0,1010010001… (количество нулей после каждой единицы увеличивается на один);

b) 0,123456789101112… (в дробной части записана последовательность натуральных чисел);

c) Если  не является точным квадратом какого-либо нат = 3,14159265… (выражает отношение длины окружности к диаметру).

Если не является точным квадратом какого-либо натурального числа, то является иррациональным числом. Например, иррациональные числа. Множество иррациональных чисел обозначается буквой I. Арифметические действия над иррациональными числами и их свойства аналогичны рациональным числам. Множество, состоящее из рациональных и иррациональных чисел, называется множеством действительных чисел, которое обозначается буквой R.

Практическая работа.

Практическая работа.

1) Начертите квадрат со стороной равной единичному отрезку и проведите диагональ данного квадрата. На диагонали квадрата постройте новый квадрат. Убедитесь, что площадь полученного квадрата в два раза больше площади единичного квадрата. Покажите, что сторона полученного квадрата равна соответственно

2) Повторите работу по алгоритму, представленному

2) Повторите работу по алгоритму, представленному ниже. На координатной оси постройте квадрат, сторона которого равна единичному отрезку. Начертите окружность с центром в точке нуль, радиусом равным диагонали квадрата и отметьте точку пересечения с числовой осью. Объясните связь между соответствующим данной точке числом и длиной диагонали квадрата.

Числовая ось, рациональные, иррациональные числа

Каждой точке на числовой оси соответствует единственное число (рациональное или иррациональное) и каждому числу, на числовой оси соответствует единственная точка. Опираясь на это числа можно сравнивать. Число, соответствующее точке, которая расположена правее, больше числа, соответствующему точке, расположенной левее.

Практическая работа.

Практическая работа.

1) При помощи калькулятора вычислите значения при заданных значениях Округлите их до десятых и заполните таблицу.

2) На координатной плоскости отметьте точки из таб

2) На координатной плоскости отметьте точки из таблицы, с соответствующими координатами, и соедините их плавной линией.

3) Может ли 4) Как изменяются соответствующие значения  при ув принимать отрицательные значения?

4) Как изменяются соответствующие значения при увеличении значений

Функция y=√x и её график

Функция и её график

В таблице, которую вы заполнили, показаны некоторые значения аргументов График функции  похож на ветвь параболы. При  т.е. в 1-ой строке, соответствующие значению функции График функции  похож на ветвь параболы. При  т.е. заданной формулой, во 2-ой строке. Аргумент функции определен при всех неотрицательных значениях График функции  похож на ветвь параболы. При  т.е. Функция также припишет только положительные значения (т.к. не существует квадратного корня из отрицательного числа и арифметический корень припишет только положительные значения).

График функции похож на ветвь параболы. При т.е. начало координат принадлежит графику. При т.е. график расположен в I четверти. Большему значению соответствует большее значение . Например, и т.д.

Приближенное значение квадратного корня

Практическая работа.

Какова наибольшая длина стороны квадрата, составленного из 14 одинаковых единичных квадратов? Как вы нашли результат? Между какими последовательными натуральными числами, являющимися точными квадратами, расположено число 14?

Приближённое значение квадратного корня можно найт

Приближённое значение квадратного корня можно найти при помощи калькулятора, но существуют и другие методы. Вычислить приближённое значение квадратного корня можно при помощи числовой оси и чисел, являющихся точными квадратами. Например, найдём при помощи данного метода, Число 14 расположено между числами 9 и 16. Квадрат

Число 14 расположено между числами 9 и 16. Квадратные корни этих чисел соответственно равны 3 и 4. Целая часть квадратного корня из 14 равна 3. Найдём приближённое значение дробной части:

На числовой прямой от 14 до 9-ти 5 единиц, от 9-ти

На числовой прямой от 14 до 9-ти 5 единиц, от 9-ти до 16 — 7 единиц.

Дробная часть числа Полученное приближённое значение Полученное приближённое значение Полученное приближённое значение

Полученное приближённое значение Значение, найденное при помощи калькулятора

Значение, найденное при помощи калькулятора

Квадратный корень из произведения и частного

Исследование: Найдите значение выражений Верно ли равенство?

Верно ли равенство? Проверьте, что соответствующее равенство верно для

Проверьте, что соответствующее равенство верно для любых двух неотрицательных чисел.

Квадратный корень из произведения и частного

При Корень из произведения неотрицательных множителей

Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих же множителей. Это свойство верно и для более двух множителей

Аналогичным образом можно показать, что при Корень из дроби, числитель которой неотрицателен,

Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

Пример:

 при перестановке левой и правой части равенства п

Пример: при перестановке левой и правой части равенства получим: Пример:

Пример:

Квадратный корень степени

Из того, что арифметический квадратный корень не может принимать отрицательных значений, следует что равенство Действительно, при ,  по определению арифметическо не всегда верно. Оно верно только для Действительно, при ,  по определению арифметическо при Действительно, при ,  по определению арифметическо верно равенство Действительно, при ,  по определению арифметическо Например, Действительно, при ,  по определению арифметическо

Действительно, при , Таким образом, по определению арифметического квадратного корня Таким образом, имеем Таким образом,

Таким образом, Приняв во внимание, что абсолютное значение числа

Приняв во внимание, что абсолютное значение числа всегда положительное или равно нулю) и объединив два равенства, приведённых выше получим следующее Для извлечения корня чётной степени подкоренное вы

Для извлечения корня чётной степени подкоренное выражение надо записать в виде квадрата идентичного выражения, а затем применить тождество Пример:

Пример:

Вынесение множителя из-под знака корни

Пример 1. Сравним числа При решении мы заменили  Такое преобразование назы

При решении мы заменили  Заказать решение задач по высшей математике Такое преобразование называется вынесением множителя из-под знака корня.

Пример 2.

Внесение множителя под знак корня

Пример 3. Сравним числа Заменим число 6 на

Заменим число 6 на  Мы заменили  Такое преобразование называется внес

Мы заменили Такое преобразование называется внесением множителя под знак корня.

Пример 4.

Пример 4.

Сложение и вычитание корней, имеющих одинаковое по

Сложение и вычитание корней, имеющих одинаковое подкоренное выражение вида  называются подобными корнями. выполняется также как сложение и вычитание выражений  называются подобными корнями. Если  называются подобными корнями.

Пример: называются подобными корнями.

Пример:

Чему равна длина двух досок, если длина одной доски равна

Пример:

Пример:

Пример:Пример:

Пример:

Пример:

Пример:

Сократите дробь.

Освобождение знаменателя от иррациональности

Сумма, разность, произведение (кроме умножения на «0» ) и отношение рационального и иррационального чисел является иррациональным числом. А вот сумма, разность, произведение и отношение двух иррациональных чисел может быть рациональным числом.

Пример:

а) При Пример: При Пример: для рациональных выражений Пример: верно равенство Пример:и Пример: называются сопраженными выражениями. Для избавления от иррациональности в знаменателе, надо числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопраженное знаменателю.

Пример:

Понятие действительного числа

Определение:

Все рациональные и иррациональные числа, как положительные, так и отрицательные, называются действительными, или вещественными, числами.

Примем к сведению без доказательства, что особенности нуля и единицы (см. стр. 41), а также переместительный и сочетательный законы сложения и переместительный сочетательный и распределительный законы умножения (см. стр. 32 и 39) остаются в силе для всех действительных чисел (рациональных и иррациональных).

Сравнение иррациональных чисел

Два иррациональных числа называются равными, если их изображения с помощью бесконечных непериодических десятичных дробей одинаковы (тождественны).

Из двух положительных иррациональных чисел больше то, у которого целая часть больше. Если же целые части равны, то большим будет то, у которого больше первый десятичный знак после запятой. Если же и первые десятичные знаки одинаковы, то большим будет то, у которого больше второй десятичный знак и т. д.

Например, сравним следующие иррациональные числа:

Здесь одинаковы целые части; первые семь десятичных знаков во втором числе такие же, как и в первом. Восьмой десятичный знак первого числа больше восьмого десятичного знака второго числа. Поэтому первое иррациональное число больше второго. Выписав достаточное число десятичных знаков бесконечных непериодических десятичных дробей изображающих иррациональные числа 
и 
, убедитесь, что

Отличительные качества

Значения, которые нельзя выразить дробью, существенно отличаются от других чисел. К их уникальным свойствам относятся следующие:

  • Запись бесконечными десятичными дробями, не имеющими групп повторяющихся цифр.
  • Результат сложения двух положительных иррациональных величин может быть рациональным, но сумма рационального и иррационального чисел будет иррациональной.
  • Определение дедекиндовых сечений в множестве рациональных величин, не имеющих в нижнем классе наибольшего значения, а в верхнем — наименьшего.
  • Любое вещественное или комплексное число, которое не является алгебраическим.
  • Каждое значение относится или к алгебраическим, или к трансцендентным.
  • Множество этих величин относится ко второй категории. Оно бесконечно и несчётно, расположено на прямой плотно. Между каждой парой составляющих его чисел всегда присутствует иррациональное значение.

Правила сравнения

Иногда для решения математических задач необходимо провести сравнение иррациональных значений. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

  • Два числа с иррациональностью будут считаться равными при происхождении от измерения одной единицей двух равных величин. Эти величины обязательно должны содержать одинаковое количество единиц, десятых, сотых, тысячных долей и так далее. Таким образом, равные иррациональные значения должны выражаться в одинаковых цифрах.
  • Если сравнивают два неравных значения, то большим будет считаться число, полученное в результате измерения большей величины. Указанная величина всегда содержит больше целых, или десятых, или сотых частей и так далее.

Для возведения иррациональной величины в степень необходимо возвести в неё значение под радикалом. Если величина корня равна степени, то в итоге число или выражение выносится из-под корня неизменным, поскольку возникают взаимно сокращающиеся действия.

Если иррациональное выражение находится под корнем, то для его извлечения показатели радикалов умножают. Этот метод позволяет упрощать извлечение корней четвёртой, шестой, восьмой, девятой степени.

Иррациональные числа можно узнать по специальным буквам, используемым для их обозначения, или по написанию в виде десятичных дробей, не имеющих окончания. Выражения этого типа легко отличить по наличию радикала. С подобными значениями проводят те же действия, что и с другими вещественными числами. Их можно умножить, сложить, сравнить и так далее.

Теги

Adblock
detector